Дискриминатор частоты оптимальный при малом отношении сигнал/шум

Дискриминатор описывается выражением

$u_{D \omega, k} = I_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})I'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) + Q_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})Q'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})$,

где
$I_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)\mbox{cos}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))$,
$Q_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)\mbox{sin}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))$,
$I'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = -\sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)(l-1)T_d\mbox{sin}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))$,
$Q'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)(l-1)T_d\mbox{cos}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))$,
$L=\frac{T}{{{T}_{d}}}$ - число отсчетов за время $T$ интегрирования в корреляторе, $T_d$ - интервал дискретизации.

Особенности работы

Для работы дискриминатора требуется формирование особенных квадратур $I'_k, Q'_k$. Они представляют собой обычные квадратуры, умноженные на линейно-возрастающую функцию $(l-1)T_d$ (индекс времени $l$ растет - множитель растет). Аппаратно такой коррелятор не реализован. Есть предложение заменить честный расчет $I'_k, Q'_k$ суммой взвешенных корреляционных сумм:

$I'_{k}\left( {{{\tilde{\tau }}}_{k}},{{{\tilde{\omega }}}_{{{d}^{{}}}k}} \right)\approx -{{T}_{1}}\sum\limits_{n_{1}^{{}}=1}^{N_{1}^{{}}}{n_{1}^{{}}{{Q}_{{{n}_{1}},k}}},$
$Q'_{k}\left( {{{\tilde{\tau }}}_{k}},{{{\tilde{\omega }}}_{{{d}^{{}}}k}} \right)\approx {{T}_{1}}\sum\limits_{n_{1}^{{}}=1}^{N_{1}^{{}}}{n_{1}^{{}}{{I}_{{{n}_{1}},k}}}.$

По этой методике весь интервал интегрирования в корреляторе разбивается на $N_1$ равных частей длительностью $T_1$. На этих малых интервалах рассчитываются традиционные корреляционные суммы $I_{n_1, k}, Q_{n_1, k}$, а потом проводится их взвешенное суммирование. Чем больше $N_1$, тем точнее оказывается приведенная методика. Допустим "большой" коррелятор копит $T = 10$ мс, тогда целесообразно выбрать $T_1 = 1$ мс и $N_1 = 10$.

Дискриминационная характеристика

Дискриминационная характеристика :

$U\left( \delta \omega \right)=A_{IQ}^{2}T\frac{\text{sinc}\left( \frac{\delta \omega T}{2} \right)}{\delta \omega T}\left( \text{sinc}\left( \frac{\delta \omega T}{2} \right)-\cos \left( \frac{\delta \omega T}{2} \right) \right)$,

где $A_{IQ} = \frac{AL}{2}$, $A$ - амплитуда сигнала $y(t_{k,l})$, $L$ - количество отчетов, накапливаемых в корреляторе, $\delta\omega$ - разность истинного и опорного параметров.

Крутизна при нулевой ошибке по частоте :

$S_D=\frac{1}{12}A_{IQ}^{2}{{T}^{2}}$

Вид дискриминационной характеристики для разных времен накопления и $q_{c/n0} = 50$ дБГц:

Флуктуационная характеристика

Дисперсия шума эквивалентного наблюдения частоты, т.е. шума с выхода дискриминатора, пересчитанного к его входу при нулевой расстройке по частоте :

$D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{6}{q_{c/n_0}T^3}(1+\frac{1}{q_{c/n_0}T}).$

Сравнение с другими ЧД

Интересно сравнить дисперсию шумов по входу для различных дискриминаторов:

• Дисперсия шума на входе дискриминатора с временным сдвигом квадратурных компонент ("cross"). Обозначим ее как $D_1$:

$D_1 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{1}{q_{c/n_0}T_{cross}^3}(1+\frac{1}{2q_{c/n_0}T_{cross}}).$

• Дисперсия шума на входе рассматриваемого в этой статье дискриминатора:

$D_2 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{6}{q_{c/n_0}T_{optim}^3}(1+\frac{1}{q_{c/n_0}T_{optim}}).$

Пусть cross дискриминатор реализован по схеме без перекрытия, тогда $T_{optim} = 2T_{cross}$ и

$\frac{D_2}{D_1} = \frac{6}{8}$,

или для СКО:

$\sigma_2 = 0.866*\sigma_1$.

Дискриминатор cross проигрывает $I_kI'_k+Q_kQ'_k$ около 15% по СКО во всем диапазоне с/ш. На рисунке ниже приведен график зависимости СКО эквивалентных шумов представленных ЧД от отношения сигнал/шум $q_{c/n0}$

Ошибка создания миниатюры: convert: unable to open image `/app/images/0/07/20151029__.png': No such file or directory @ error/blob.c/OpenBlob/2641.
convert: no images defined `/tmp/transform_1c2b77d325c9-1.png' @ error/convert.c/ConvertImageCommand/3044.

Далее построены нормированные на крутизну дискриминационные характеристики сравниваемых дискриминаторов. Как и при сравнении дисперсий шума, полагаем $T_2 = 2T_1$.

Из приведенного рисунка следует вывод, что апертура обоих частотных дискриминаторов равна
$A_\omega=\frac{2}{T_u}$.
$T_u$ - темп работы дискриминатора. Ранее дискриминаторы сравнивались при условии $T_u = T_2 = 2T_1$, т.е. при одинаковом темпе работы. При анализе "cross" дискриминатора нужно помнить, что $T_1$ в формулах его характеристик - это время когерентного накопления в корреляторе, а темп работы самого дискриминатора по схеме без перекрытия $T_u = 2T_1$.