Моделирование коррелированных гауссовых СВ

При моделировании следящих систем НАП, а так же сигналов многоантенных НАП, возникает задача создания нормальных случайных величин с заданным коэффициентом корреляции.

Рассмотрим решение данной задачи на примере модели шумов статистического эквивалента корреляционных сумм $I_p$, $I_e$ и $I_l$.

Статистический эквивалент коррелятора

Статистический эквивалент коррелятора синфазных корреляционных сумм в отсутствии помех можно описать выражениями:

$I_p = A_{IQ} \rho\left(\delta \tau\right) sinc\left(\frac{\delta \omega T}{2}\right) cos\left(\frac {\delta \omega T}{2} + \delta\varphi\right) + n_{Ip},$

$I_{e} = A_{IQ} \rho\left(\delta \tau - \frac{\Delta \tau}{2}\right) sinc\left(\frac{\delta \omega T}{2}\right) cos\left(\frac {\delta \omega T}{2} + \delta\varphi\right) + n_{Ie},$

$I_{l} = A_{IQ} \rho\left(\delta \tau + \frac{\Delta \tau}{2}\right) sinc\left(\frac{\delta \omega T}{2}\right) cos\left(\frac {\delta \omega T}{2} + \delta\varphi\right) + n_{Il},$

которые для полной картины необходимо дополнить определениями $A_{IQ}$, $\rho()$ и т.д., а так же описанием шумов $n_{Ip}$, $n_{Ie}$, $n_{Il}$.

Математические ожидания СВ $n_{Ip}$, $n_{Ie}$, $n_{Il}$ равны нулю, их дисперсии есть

$\sigma_{IQ}^2 = \frac{\sigma_n^2 N}{2}$,

где $\sigma_n^2$ - дисперсия шумов на выходе АЦП, $N$ - число суммируемых отсчетов в корреляторе, эти величины считаются известными.

Нетрудно рассчитать попарные взаимные дисперсии:

$M\left[n_{Ip} n_{Ie}\right] = M\left[n_{Ip} n_{Il}\right] = \rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2$,

$M\left[n_{Ie} n_{Il}\right] = \rho \left( \Delta \tau \right) \sigma_{IQ}^2$,

Требуется на ЭВМ, имея генератор случайных нормальных чисел, формировать реализации СВ $n_{Ip}$, $n_{Ie}$, $n_{Il}$.

Примечание. Задача формирования шумов квадратурных сумм - абсолютно аналогична и независима, т.к. шумы между I и Q компонентами не коррелируют и независимы.

Многомерная нормальная СВ или вектор случайных величин?

При синтезе радиотехнических систем часто используются модели, оперирующие с многомерными нормальными случайными величинами. Определение из Википедии:

Случайный вектор $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n$ имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Произвольная линейная комбинация компонентов вектора $\sum\limits_{i=1}^n a_i X_i$ имеет нормальное распределение или является константой.
• Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин $\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots, Z_m)^{\top}$, вещественный вектор $\mathbf{\mu} = (\mu_1,\ldots, \mu_n)^{\top}$ и матрица $\mathbf{A}$ размерности $n \times m$, такие что:

$\mathbf{X} = \mathbf{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}$.

• Существует вектор $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n$ и неотрицательно определённая симметричная матрица $\mathbf{\Sigma}$ размерности $n \times n$, такие что характеристическая функция вектора $\mathbf{X}$ имеет вид:

$\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$.

Из первого условия следует, что каждая из компонент нормальной векторной СВ имеет нормальное распределение (для компоненты $i$ это вытекает при $a_i = 1$ и остальных коэффициентах комбинации, равных 0). Отсюда часто возникает иллюзия, что нормальность распределений компонент влечет нормальность совместного распределения. Этот тезис не выполняется, на контрпример можно взглянуть тут.

Шумы корреляционных сумм $n_{Ip}$, $n_{Ie}$, $n_{Il}$ получены сворачиванием входного шума $n$ с тремя опорными сигналами. Таким образом, выполняется второе необходимое и достаточное условие того, что тройка $n_{Ip}$, $n_{Ie}$, $n_{Il}$ имеет многомерное нормальное распределение (если выборку $n$ обозначить как $\mathbf{Z}$, опорные сигналы записать в виде трех строк матрицы $\mathbf{A}$, $\mathbf{\mu}$ - вектор-столбец из трех нулей)

Итого, компоненты $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} n_{Ip}&n_{Ie}&n_{Il}\\ \end{array}} \right|^T$ образуют многомерную нормальную СВ с нулевым мат. ожиданием и ковариационной матрицей:

$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \sigma_{IQ}^2&\rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2&\rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2\\ \rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2&\sigma_{IQ}^2&\rho \left( \Delta \tau \right) \sigma_{IQ}^2\\ \rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2&\rho \left( \Delta \tau \right) \sigma_{IQ}^2&\sigma_{IQ}^2 \end{array}} \right|$.

Разложение Холецкого

Существует разложение матрицы $A$ в виде $A = LL^T$, где $L$ — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Данное представление называется разложением Холецкого и относительно легко рассчитывается. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно-определённой матрицы.

Применим разложение Холецкого к ковариационной матрице:

$L = chol(D), D = LL^T$.

Умножим полученную матрицу на вектор-столбец $r$ из трех независимых нормальных стандартных СВ:

$n_I = L r$.

Компоненты вектора $n_I$ образуют многомерную нормальную случайную величину, т.к. выполняется второе необходимое и достаточное условие.

Нетрудно показать, что вектор математических ожиданий $n_I$ - нулевой, а ковариационная матрица $D = LL^T$. Таким образом, $n_I$ - требуемая многомерная СВ.

Реализация в MATLAB

Пример использования:

qcno_dB = 45;
N = 10000;
stdn = 8;

stdn_IQ = sqrt(stdn^2 * N /2);

ro1 = 0.75;
ro2 = 0.5;
Dp=stdn_IQ^2; Dpe=ro1*stdn_IQ^2; Del=ro2*stdn_IQ^2;

L=chol([Dp  Dpe Dpe;
        Dpe Dp  Del;
        Dpe Del Dp])';

Nj = 1000000;
nIp = nan(1,Nj);
nIe = nan(1,Nj);
nIl = nan(1,Nj);
for j = 1:Nj
    nI = L*randn(3,1);
   
    nIp(j) = nI(1);
    nIe(j) = nI(2);
    nIl(j) = nI(3);
end

fprintf('Corrcoeff nIp nIe = %f\n', mean(nIp.*nIe / std(nIp) / std(nIe) ));
fprintf('Corrcoeff nIl nIe = %f\n', mean(nIl.*nIe / std(nIl) / std(nIe) ));

Вывод:

Corrcoeff nIp nIe = 0.750737
Corrcoeff nIl nIe = 0.500801

Реализация в виде функции (не стоит использовать в цикле, т.к. каждый раз будет вычисляться разложение):

function [X, L] = getCorrelatedRV( D, m )
%GETCORRELATEDRV Returns gaussian corralated random vector

sizeD = size(D);

if (sizeD(1) ~= sizeD(2))
    error('Covariance matrix must be square.')
end
   
if (nargin == 1)
    m = zeros(sizeD(1), 1);
elseif ((nargin < 1) || (nargin > 2))
    error('Incorrect number of inputs.');
end

if nargin == 2
    sizem = size(m);
    if sizem(1) == 1
        m = m';
        sizem = size(m);
    end
    if sizem(2) > 1
        error('Second argument must be vector.');
    end
    if (sizem(1) ~= sizeD(1))
        error('Dimensions of D and m are not consistent.');
    end
end

L = chol(D)';

X = L * randn(sizeD(1), 1) + m;

end