Функции Бесселя - История изменений

Korogodin: /* Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем */

2012-04-09T06:44:17Z

‎Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем

Korogodin в 19:11, 16 апреля 2011

2011-04-16T19:11:23Z

Korogodin в 18:58, 16 апреля 2011

2011-04-16T18:58:37Z

Korogodin: /* Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем */

2011-04-16T18:50:23Z

‎Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем

Korogodin: /* Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем */

2011-04-16T18:47:10Z

‎Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем

Korogodin в 18:40, 16 апреля 2011

2011-04-16T18:40:05Z

Korogodin: Новая страница: «'''Функции Бесселя''' в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениям...»

2011-04-16T18:39:37Z

Новая страница: «'''Функции Бесселя''' в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениям...»

Новая страница

'''Функции Бесселя''' в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

: <math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,</math>

где <math>\alpha</math> — произвольное вещественное число, называемое '''порядком'''.

== Модифицированные функции Бесселя ==

'''Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя''' — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Первого рода:
<math>I_n(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{z\cos t}\cos (nt)dt, \qquad n \in \mathbb Z, Re(z)>0.</math>

=== Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем ===

При статистическом синтезе радиосистем в случаях, когда начальную фазу сигнала относят к неинформативным параметрам, возникает задача преобразования интеграла вида:
<math>J = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{\frac{\sum\limits_{l=1}^L y_{k,l}S_{k,l}}{\sigma_{n,k}^2}} d\phi_k.</math>

Рассмотрим подробнее числитель экспоненты для типичной модели сигнала
<math>S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}{G}_{dc}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,1}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\varphi _{k}^{{}} \right),</math>

тогда

<math>\sum_{l=1}^L y_{k,l}S_{k,l} = A_{k}cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\phi_k){Q}_{k},</math>

где

<math>{{I}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)};</math>

<math>{{Q}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\sin \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)},</math>

в которых

<math>{{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,\omega _{0}^{{}}\left( {{t}_{k,l}}-{{t}_{k,1}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}.</math>

Далее производится красивый хак: очевидно, что <math>\forall I_k, Q_k \in \R {\ }: \exists \psi_k\in \R</math>, такая что:

<math>\!\! A_{k} cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\phi_k){Q}_{k} = \!\!</math>
<math>A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left(
\frac{I_k}{\sqrt{I_k^2 + Q_k^2}} cos(\phi_k) -
\frac{Q_k}{\sqrt{I_k^2 + Q_k^2}} sin(\phi_k) \right) = </math>
<math>A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left( cos(\psi_k) cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\psi_k)sin(\phi_k) \right)=</math>
<math>A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k),</math>

где
<math>X_{k}^{2}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,I_{k}^{2}+Q_{k}^{2}.</math>

С учетом проделанных преобразованием, можно записать:
<math>J = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{\frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k)}{\sigma_{n,k}^2}} d\phi_k.</math>

По определению, модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка:
<math>I_0(z)\overset{df}{\mathop{=}}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{z\cos t}dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{z\cos t}dt,</math>

тогда с учетом того, что подынтегральная функция в полученном выражении для <math>\!\! J </math> периодична и её период совпадает с периодом интегрирования, а значит замена аргумента <math>\!\! \phi_k </math> на <math>\!\! \phi_k + \psi_k </math> не меняет значения интеграла, получаем выражение:
<math>J = I_0 \left( \frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{\sigma_{n,k}^2} \right).</math>

@@ Строка 22: / Строка 22: @@
 Рассмотрим подробнее числитель экспоненты для типичной модели сигнала
-:<math>S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}{G}_{dc}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,1}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\varphi _{k}^{{}} \right),</math>
+:<math>S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}{G}_{dc}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,1}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\phi _{k}^{{}} \right),</math>
 тогда
@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 \frac{I_k}{\sqrt{I_k^2 + Q_k^2}} cos(\phi_k) -
 \frac{Q_k}{\sqrt{I_k^2 + Q_k^2}} sin(\phi_k) \right) = </math>
-:<math>=A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left( cos(\psi_k) cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\psi_k)sin(\phi_k) \right)=
+:<math>=A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left( cos(\psi_k) cos(\phi_k) - sin(\psi_k)sin(\phi_k) \right)=
 A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k),</math>

@@ Строка 61: / Строка 61: @@
 тогда с учетом того, что подынтегральная функция в полученном выражении для <math>\!\! J </math> периодична и её период совпадает с периодом интегрирования, а значит замена аргумента <math>\!\! \phi_k </math> на <math>\!\! \phi_k + \psi_k </math> не меняет значения интеграла, получаем выражение:
 :<math>J = I_0 \left( \frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{\sigma_{n,k}^2} \right).</math>
 [[Категория:Статистическая радиотехника]]

@@ Строка 16: / Строка 16: @@
 === Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем ===
-Исходный материал в исполнении Александра Ивановича доступен [[Media:20110416_Функция_Бесселя.doc|тут]].
+Исходный материал в исполнении Александра Ивановича доступен в форматах [[Media:20110416_Функция_Бесселя.doc|doc]] и [[Media:20110416_Функция_Бесселя.pdf|pdf]].
 При статистическом синтезе радиосистем в случаях, когда начальную фазу сигнала относят к неинформативным параметрам, возникает задача преобразования интеграла вида:

← Предыдущая		Версия 18:47, 16 апреля 2011
Строка 15:		Строка 15:

	=== Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем ===		=== Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем ===
		+
		+	Исходный материал в исполнении Александра Ивановича доступен [[Media:20110416_Функция_Бесселя.doc\|тут]].

	При статистическом синтезе радиосистем в случаях, когда начальную фазу сигнала относят к неинформативным параметрам, возникает задача преобразования интеграла вида:		При статистическом синтезе радиосистем в случаях, когда начальную фазу сигнала относят к неинформативным параметрам, возникает задача преобразования интеграла вида:

← Предыдущая		Версия 18:40, 16 апреля 2011
Строка 59:		Строка 59:
	тогда с учетом того, что подынтегральная функция в полученном выражении для <math>\!\! J </math> периодична и её период совпадает с периодом интегрирования, а значит замена аргумента <math>\!\! \phi_k </math> на <math>\!\! \phi_k + \psi_k </math> не меняет значения интеграла, получаем выражение:		тогда с учетом того, что подынтегральная функция в полученном выражении для <math>\!\! J </math> периодична и её период совпадает с периодом интегрирования, а значит замена аргумента <math>\!\! \phi_k </math> на <math>\!\! \phi_k + \psi_k </math> не меняет значения интеграла, получаем выражение:
	<math>J = I_0 \left( \frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{\sigma_{n,k}^2} \right).</math>		<math>J = I_0 \left( \frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{\sigma_{n,k}^2} \right).</math>
		+
		+	[[Категория:Статистическая радиотехника]]

@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 Первого рода:
-<math>I_n(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{z\cos t}\cos (nt)dt, \qquad n \in \mathbb Z, Re(z)>0.</math>
+<math>I_n(z)=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi e^{z\cos t}\cos (nt)dt, \qquad n \in \mathbb Z, Re(z)>0.</math>
@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 При статистическом синтезе радиосистем в случаях, когда начальную фазу сигнала относят к неинформативным параметрам, возникает задача преобразования интеграла вида:
-<math>J = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{\frac{\sum\limits_{l=1}^L y_{k,l}S_{k,l}}{\sigma_{n,k}^2}} d\phi_k.</math>
+:<math>J = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi e^{\frac{\sum\limits_{l=1}^L y_{k,l}S_{k,l}}{\sigma_{n,k}^2}} d\phi_k.</math>
 Рассмотрим подробнее числитель экспоненты для типичной модели сигнала
-<math>S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}{G}_{dc}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,1}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\varphi _{k}^{{}} \right),</math>
+:<math>S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}{G}_{dc}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,1}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\varphi _{k}^{{}} \right),</math>
 тогда
-<math>\sum_{l=1}^L y_{k,l}S_{k,l} = A_{k}cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\phi_k){Q}_{k},</math>
+:<math>\sum_{l=1}^L y_{k,l}S_{k,l} = A_{k}cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\phi_k){Q}_{k},</math>
 где
-<math>{{I}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)};</math>
+:<math>{{I}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)};</math>
-<math>{{Q}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\sin \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)},</math>
+:<math>{{Q}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\sin \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)},</math>
 в которых
-<math>{{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,\omega _{0}^{{}}\left( {{t}_{k,l}}-{{t}_{k,1}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}.</math>
+:<math>{{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,\omega _{0}^{{}}\left( {{t}_{k,l}}-{{t}_{k,1}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}.</math>
-Далее производится красивый хак: очевидно, что <math>\forall I_k, Q_k \in \R {\ }: \exists \psi_k\in \R</math>, такая что:
+Далее производится красивый хак: очевидно, что <math>\forall I_k, Q_k \in \R {\ }: \exists \psi_k\in \R</math>, такое что:
-<math>\!\! A_{k} cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\phi_k){Q}_{k} = \!\!</math>
+:<math>\!\! A_{k} cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\phi_k){Q}_{k} = \!\!</math>
-<math>A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left(
+:<math>=A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left(
 \frac{I_k}{\sqrt{I_k^2 + Q_k^2}} cos(\phi_k) -
 \frac{Q_k}{\sqrt{I_k^2 + Q_k^2}} sin(\phi_k) \right) = </math>
-<math>A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left( cos(\psi_k) cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\psi_k)sin(\phi_k) \right)=</math>
+:<math>=A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left( cos(\psi_k) cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\psi_k)sin(\phi_k) \right)=
-<math>A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k),</math>
+A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k),</math>
 где
-<math>X_{k}^{2}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,I_{k}^{2}+Q_{k}^{2}.</math>
+:<math>X_{k}^{2}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,I_{k}^{2}+Q_{k}^{2}.</math>
 С учетом проделанных преобразованием, можно записать:
-<math>J = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{\frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k)}{\sigma_{n,k}^2}} d\phi_k.</math>
+:<math>J = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi e^{\frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k)}{\sigma_{n,k}^2}} d\phi_k.</math>
 По определению, модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка:
-<math>I_0(z)\overset{df}{\mathop{=}}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{z\cos t}dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{z\cos t}dt,</math>
+:<math>I_0(z)\overset{df}{\mathop{=}}\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi e^{z\cos t}dt = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi e^{z\cos t}dt,</math>
 тогда с учетом того, что подынтегральная функция в полученном выражении для <math>\!\! J </math> периодична и её период совпадает с периодом интегрирования, а значит замена аргумента <math>\!\! \phi_k </math> на <math>\!\! \phi_k + \psi_k </math> не меняет значения интеграла, получаем выражение:
-<math>J = I_0 \left( \frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{\sigma_{n,k}^2} \right).</math>
+:<math>J = I_0 \left( \frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{\sigma_{n,k}^2} \right).</math>
 [[Категория:Статистическая радиотехника]]