Псевдодальномерный метод позиционирования (АП СРНС, лабораторная работа) - История изменений

Korogodin: /* Решение навигационной задачи методом наименьших квадратов */

2012-11-25T12:52:39Z

‎Решение навигационной задачи методом наименьших квадратов

Korogodin: /* Решение навигационной задачи методом наименьших квадратов */

2012-11-25T12:51:15Z

‎Решение навигационной задачи методом наименьших квадратов

Korogodin в 12:49, 25 ноября 2012

2012-11-25T12:49:56Z

Korogodin: /* Цели работы */

2012-11-25T12:29:27Z

‎Цели работы

Korogodin: /* Навигационное решение */

2012-11-25T12:27:54Z

‎Навигационное решение

Korogodin: /* Псевдодальномерный метод */

2012-11-25T12:22:29Z

‎Псевдодальномерный метод

Korogodin: /* Псевдодальномерный метод */

2012-11-25T12:21:41Z

‎Псевдодальномерный метод

Korogodin: /* Псевдодальномерный метод */

2012-11-25T12:20:48Z

‎Псевдодальномерный метод

Korogodin: /* Псевдодальномерный метод */

2012-11-25T12:20:06Z

‎Псевдодальномерный метод

Korogodin: /* Общая информация */

2012-11-25T12:06:45Z

‎Общая информация

@@ Строка 64: / Строка 64: @@
 После проведения измерений псевдодальностей до <math>N</math> навигационных спутников получаем <math>N</math> оценок псеводальностей <math>\hat{\rho}_1</math>, которые отличаются от истинных псевдодальностей ошибками измерений. Тогда решением по методу наименьших квадратов будут такие оценки <math>\hat{x}</math>, <math>\hat{y}</math>, <math>\hat{z}</math>, <math>\hat{\Delta \tau}</math>, при которых достигается минимум суммы невязок:
-::<math>\hat{x},\hat{y},\hat{z},\Delta \hat{\tau }=\underset{x,y,z,\Delta \tau }{\mathop{\arg \min }}\,\sum\limits_{n=1}^{N}{\left( \hat{\rho }_{n}^{{}}-\rho _{n}^{{}}\left( x,y,z,\Delta \tau  \right) \right)}</math>, {{ecno|5}},
+::<math>\hat{x},\hat{y},\hat{z},\hat{\Delta \tau}=\underset{x,y,z,\Delta \tau }{\mathop{\arg \min }}\,\sum\limits_{n=1}^{N}{\left( \hat{\rho }_{n}^{{}}-\rho _{n}^{{}}\left( x,y,z,\Delta \tau  \right) \right)}</math>, {{ecno|5}},
 где
 <math>\rho _{n}^{{}}\left( x,y,z,\Delta \tau  \right)=\sqrt{\left( x-x_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}+\left( y-y_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}+\left( z-z_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}}+c\Delta \tau </math> - псевдодальность до <math>n</math>-ого спутника как функция <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> и <math>\Delta \tau</math>, а <math>x_n</math>, <math>y_n</math>, <math>z_n</math> - координаты <math>n</math>-ого спутника.
 Решение по методу наименьших квадратов соответствует решению по критерию максимального правдоподобия, если ошибки измерений псевдодальностей распределены по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями и нулевыми математическими ожиданиями.

@@ Строка 63: / Строка 63: @@
 Для расчета координат и поправки к шкале времени по измерениям псевдодальностей можно использовать различные подходы. В данной работе предлагается освоить метод наименьших квадратов с итерационным поиском решения.
-После проведения измерений псевдодальностей до <math>N</math> навигационных спутников получаем <math>N</math> оценок псеводальностей <math>\hat{\rho}_1</math>, которые отличаются от истинных псевдодальностей ошибками измерений. Тогда решением по методу наименьших квадратов будут такие оценки <math>\hat{\x}</math>, <math>\hat{\y}</math>, <math>\hat{\z}</math>, <math>\hat{\Delta \tau}</math>, при которых достигается минимум суммы невязок:
+После проведения измерений псевдодальностей до <math>N</math> навигационных спутников получаем <math>N</math> оценок псеводальностей <math>\hat{\rho}_1</math>, которые отличаются от истинных псевдодальностей ошибками измерений. Тогда решением по методу наименьших квадратов будут такие оценки <math>\hat{x}</math>, <math>\hat{y}</math>, <math>\hat{z}</math>, <math>\hat{\Delta \tau}</math>, при которых достигается минимум суммы невязок:
 ::<math>\hat{x},\hat{y},\hat{z},\Delta \hat{\tau }=\underset{x,y,z,\Delta \tau }{\mathop{\arg \min }}\,\sum\limits_{n=1}^{N}{\left( \hat{\rho }_{n}^{{}}-\rho _{n}^{{}}\left( x,y,z,\Delta \tau  \right) \right)}</math>, {{ecno|5}},
 где
-<math>\rho _{n}^{{}}\left( x,y,z,\Delta \tau  \right)=\sqrt{\left( x-x_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}+\left( y-y_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}+\left( z-z_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}}+c\Delta \tau </math> - псевдодальность до <math>n</math>-ого спутника как функция <math>\hat{\x}</math>, <math>\hat{\y}</math>, <math>\hat{\z}</math> и <math>\hat{\Delta \tau}</math>, а <math>\x_n</math>, <math>\y_n</math>, <math>\z_n</math> - координаты <math>n</math>-ого спутника.
+<math>\rho _{n}^{{}}\left( x,y,z,\Delta \tau  \right)=\sqrt{\left( x-x_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}+\left( y-y_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}+\left( z-z_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}}+c\Delta \tau </math> - псевдодальность до <math>n</math>-ого спутника как функция <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> и <math>\Delta \tau</math>, а <math>x_n</math>, <math>y_n</math>, <math>z_n</math> - координаты <math>n</math>-ого спутника.
 Решение по методу наименьших квадратов соответствует решению по критерию максимального правдоподобия, если ошибки измерений псевдодальностей распределены по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями и нулевыми математическими ожиданиями.

@@ Строка 52: / Строка 52: @@
 В СРНС второго поколения маяками выступают навигационные спутники. Каждый спутник передает в своём сигнале эфемеридную информацию, которая позволяет рассчитать координаты спутника на момент излучения. Кроме того, в сигнал заложена величина поправки часов каждого спутника относительно единой системной шкалы времени. Для оценки трех координат и поправки к шкале времени потребителя требуются измерения псевдодальности до четырех спутников:
-::<math>\rho_1 = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2} + V \Delta \tau </math> {{ecno|4}}
+::<math>\rho_1 = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2} + c \Delta \tau </math> {{ecno|4}}
-::<math>\rho_2 = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2} + V \Delta \tau </math>
+::<math>\rho_2 = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2} + c \Delta \tau </math>
-::<math>\rho_3 = \sqrt{(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 + (z - z_3)^2} + V \Delta \tau </math>
+::<math>\rho_3 = \sqrt{(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 + (z - z_3)^2} + c \Delta \tau </math>
-::<math>\rho_4 = \sqrt{(x - x_4)^2 + (y - y_4)^2 + (z - z_4)^2} + V \Delta \tau </math>
+::<math>\rho_4 = \sqrt{(x - x_4)^2 + (y - y_4)^2 + (z - z_4)^2} + c \Delta \tau </math>
 Для существующих спутниковых созвездий система уравнений {{eqref|4}} в большинстве случае имеет 2 решения, одно из которых можно отбросить по косвенным признакам - расположению под поверхностью земли либо в далеком космосе.
-== Навигационное решение ==
+== Решение навигационной задачи методом наименьших квадратов ==
-Для решения системы уравнений {{eqref|4}} можно использовать различные подходы. В данной работе предлагается
+Для расчета координат и поправки к шкале времени по измерениям псевдодальностей можно использовать различные подходы. В данной работе предлагается освоить метод наименьших квадратов с итерационным поиском решения.

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 * Убедиться в работоспособности дальномерного и псевдодальномерного методов позиционирования
-* Реализовать одношаговый алгоритм решения навигационной задачи, убедиться в его работоспособности
+* Реализовать итерационный алгоритм решения навигационной задачи методом наименьших квадратов, убедиться в его работоспособности
 * Освоить методику расчета геометрического фактора снижения точности

← Предыдущая		Версия 12:27, 25 ноября 2012
Строка 61:		Строка 61:
	== Навигационное решение ==		== Навигационное решение ==

−	~~Систему~~ уравнений ({{~~ecref~~\|4}})	+	Для решения системы уравнений {{eqref\|4}} можно использовать различные подходы. В данной работе предлагается

@@ Строка 48: / Строка 48: @@
 Величины <math>\rho_1</math>, <math>\rho_2</math> называют ''псевдодальностями''.
-Система уравнений ({{eqref|3}}) содержит 3 неизвестные: координаты <math>x</math> и <math>y</math> корабля и смещение корабельных часов <math>\Delta \tau</math>. Для решения системы потребуется ещё одно измерение - псевдодальности до третьего маяка <math>\rho_3</math>.
+Система уравнений {{eqref|3}} содержит 3 неизвестные: координаты <math>x</math> и <math>y</math> корабля и смещение корабельных часов <math>\Delta \tau</math>. Для решения системы потребуется ещё одно измерение - псевдодальности до третьего маяка <math>\rho_3</math>.
 В СРНС второго поколения маяками выступают навигационные спутники. Каждый спутник передает в своём сигнале эфемеридную информацию, которая позволяет рассчитать координаты спутника на момент излучения. Кроме того, в сигнал заложена величина поправки часов каждого спутника относительно единой системной шкалы времени. Для оценки трех координат и поправки к шкале времени потребителя требуются измерения псевдодальности до четырех спутников:
@@ Строка 57: / Строка 57: @@
 ::<math>\rho_4 = \sqrt{(x - x_4)^2 + (y - y_4)^2} + V \Delta \tau </math>
-Для существующих спутниковых созвездий система уравнений ({{ecref|4}}) в большинстве случае имеет 2 решения, одно из которых можно отбросить по косвенным признакам - расположению под поверхностью земли, либо в далеком космосе.
+Для существующих спутниковых созвездий система уравнений {{eqref|4}} в большинстве случае имеет 2 решения, одно из которых можно отбросить по косвенным признакам - расположению под поверхностью земли, либо в далеком космосе.
 == Навигационное решение ==
 Систему уравнений ({{ecref|4}})

← Предыдущая		Версия 12:20, 25 ноября 2012
Строка 48:		Строка 48:
	Величины <math>\rho_1</math>, <math>\rho_2</math> называют ''псевдодальностями''.		Величины <math>\rho_1</math>, <math>\rho_2</math> называют ''псевдодальностями''.

−	~~Уравнения~~	+	Система уравнений ({{eqref\|3}}) содержит 3 неизвестные: координаты <math>x</math> и <math>y</math> корабля и смещение корабельных часов <math>\Delta \tau</math>. Для решения системы потребуется ещё одно измерение - псевдодальности до третьего маяка <math>\rho_3</math>.
		+
		+	В СРНС второго поколения маяками выступают навигационные спутники. Каждый спутник передает в своём сигнале эфемеридную информацию, которая позволяет рассчитать координаты спутника на момент излучения. Кроме того, в сигнал заложена величина поправки часов каждого спутника относительно единой системной шкалы времени. Для оценки трех координат и поправки к шкале времени потребителя требуются измерения псевдодальности до четырех спутников:
		+
		+	::<math>\rho_1 = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} + V \Delta \tau </math> {{ecno\|4}}
		+	::<math>\rho_2 = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} + V \Delta \tau </math>
		+	::<math>\rho_3 = \sqrt{(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2} + V \Delta \tau </math>
		+	::<math>\rho_4 = \sqrt{(x - x_4)^2 + (y - y_4)^2} + V \Delta \tau </math>
		+
		+	Для существующих спутниковых созвездий система уравнений ({{ecref\|4}}) в большинстве случае имеет 2 решения, одно из которых можно отбросить по косвенным признакам - расположению под поверхностью земли, либо в далеком космосе.
		+
		+	== Навигационное решение ==
		+
		+	Систему уравнений ({{ecref\|4}})

@@ Строка 25: / Строка 25: @@
 ::<math>R_1 = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2}</math>,{{eqno|1}}
 где <math>(x_1, y_1)</math> - координаты первого маяка.
 В любой из точек окружности, что попали в море, может находиться корабль. Это уже лучше, чем полная неопределенность, но хотелось бы ограничиться одной возможной точкой. Для этого необходимо повторить измерения расстояния до второго маяка - получить оценку <math>R_2 = V \Delta t_2</math>. Множество возможных положений, при которых расстояние до второго маяка составляет <math>R_2</math> - ещё одна окружность ([[#pic3|рис. 3]]). Её уравнение дополняет первое:
@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 ::<math>\rho_1 = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} + V \Delta \tau </math> {{ecno|3}}
 ::<math>\rho_2 = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} + V \Delta \tau </math>